在初中数学的学习过程中，一元二次方程是一个非常重要的知识点。它不仅是代数部分的核心内容之一，同时也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一章节的内容，本文将提供一组精心挑选的一元二次方程练习题，并附上详细的参考答案。
练习题部分
1. 解下列方程：
- (1) \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
- (2) \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)
- (3) \(4x^2 - 12x + 9 = 0\)
2. 某工厂生产一批产品，其成本函数为 \(C(x) = x^2 - 8x + 15\)（单位：万元），其中 \(x\) 表示生产的数量（单位：百件）。若该产品的销售价格固定为每件 5 万元，请问当产量达到多少时，工厂可以实现最大利润？
3. 已知抛物线方程为 \(y = ax^2 + bx + c\)，经过点 (1, 0)，(-1, 0) 和 (0, -2)，求此抛物线的解析式。
参考答案部分
1. 解答：
- (1) 原方程可分解为 \((x-2)(x-3)=0\)，因此解得 \(x_1=2, x_2=3\)。
- (2) 使用公式法计算得到 \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，即 \(x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-42(-2)}}{22}\)，最终解得 \(x_1=-2, x_2=\frac{1}{2}\)。
- (3) 方程左边是完全平方形式，故解为 \(x=\frac{3}{2}\)。
2. 分析与解答：设总收益为 \(R(x)\)，则 \(R(x) = 500x\)（单位：万元）。利润 \(P(x)\) 等于收益减去成本，即 \(P(x) = R(x) - C(x) = 500x - (x^2 - 8x + 15)\)。化简后得到 \(P(x) = -x^2 + 508x - 15\)。对 \(P(x)\) 求导并令其等于零以寻找极值点，得到 \(P'(x) = -2x + 508 = 0\)，解得 \(x = 254\)。通过二阶导数验证可知此处取得极大值，因此当产量为 254 百件时，工厂可以获得最大利润。
3. 根据已知条件，利用待定系数法设出抛物线的标准形式 \(y = ax^2 + bx + c\)。将三个给定点代入方程组求解参数 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，最终得出抛物线的解析式为 \(y = x^2 - x - 2\)。
以上就是本次提供的练习题及其详细解答过程。希望大家能够通过这些题目加深对一元二次方程的理解，并熟练掌握相关解题技巧。继续努力学习吧！
