在概率论与数理统计中，超几何分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在有限总体中进行不放回抽样的情况。例如，在一个装有红球和白球的袋子中随机抽取若干个球时，若每次抽取后不再将球放回，则这种抽样过程可以被建模为超几何分布。

一、超几何分布的基本定义

假设我们有一个总体，其中包含 \(N\) 个元素，其中有 \(K\) 个是具有某种特性的（比如红色球），其余 \(N-K\) 个没有该特性（比如白色球）。从这个总体中随机抽取 \(n\) 个样本，并且不放回。那么，抽取到具有该特性的样本数量 \(X\) 就服从超几何分布。

其概率质量函数为：

\[

P(X=k) = \frac{{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}}{{C_N^n}}, \quad k=0,1,\dots,\min(n,K)

\]

其中 \(C_a^b\) 表示组合数，即从 \(a\) 个不同元素中选取 \(b\) 个元素的方式总数。

二、超几何分布的期望

对于服从超几何分布的随机变量 \(X\)，其数学期望 \(E(X)\) 可以通过公式直接计算得出：

\[

E(X) = n \cdot \frac{K}{N}

\]

这一结果表明，期望值与样本容量 \(n\) 成正比关系，同时与总体中具有特定属性的比例 \(\frac{K}{N}\) 相关。

三、超几何分布的方差

除了期望之外，方差也是衡量随机变量波动程度的重要指标。对于超几何分布，其方差 \(Var(X)\) 的表达式如下：

\[

Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1-\frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}

\]

需要注意的是，这里的分母 \(N-1\) 是由于不放回抽样的修正因子。

四、实际应用中的意义

超几何分布在实际问题中有广泛的应用场景，如质量控制、生物医学研究等。通过理解和掌握其期望和方差的性质，可以帮助研究人员更好地预测实验结果并评估不确定性。

总结来说，超几何分布作为一种重要的概率模型，不仅理论基础扎实，而且在实践中也展现了强大的适用性。通过对期望和方差的理解，我们可以更准确地分析和解决涉及有限总体且无放回抽样的实际问题。