在《数字信号处理》（吴镇扬第二版）中，第三章主要围绕离散时间系统的分析与设计展开，内容涵盖了系统函数、频率响应、稳定性判断、因果性分析以及滤波器设计等核心知识点。为了帮助学习者更好地掌握本章内容，以下是对第三章部分典型习题的详细解答与思路分析。
一、系统函数与差分方程
题目示例：
已知一个线性时不变系统的差分方程为：
$$ y(n) = 0.5y(n-1) + x(n) $$
求该系统的系统函数 $ H(z) $，并判断其是否稳定。
解题思路：
对差分方程两边进行Z变换，注意初始条件为零（即系统是因果的），可得：
$$ Y(z) = 0.5z^{-1}Y(z) + X(z) $$
整理得：
$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}} $$
将表达式转换为标准形式：
$$ H(z) = \frac{z}{z - 0.5} $$
稳定性判断：
系统稳定的充要条件是其极点全部位于单位圆内。此处极点为 $ z = 0.5 $，显然满足条件，因此系统是稳定的。
二、频率响应与系统特性
题目示例：
设系统函数为：
$$ H(z) = \frac{1 - 0.5z^{-1}}{1 - 0.8z^{-1}} $$
求其频率响应 $ H(e^{j\omega}) $，并分析其滤波特性。
解题思路：
将 $ z = e^{j\omega} $ 代入系统函数中，得到：
$$ H(e^{j\omega}) = \frac{1 - 0.5e^{-j\omega}}{1 - 0.8e^{-j\omega}} $$
进一步化简后，可以分析其幅频特性和相频特性。从分子和分母的结构可以看出，该系统具有一个零点和一个极点，且极点靠近单位圆，因此系统可能表现出低通或带通特性，具体需要通过计算幅频响应曲线来确认。
三、因果性与稳定性分析
题目示例：
给定系统函数：
$$ H(z) = \frac{z^2 + 3z + 2}{z^2 - 2z + 1} $$
判断系统是否为因果系统，并分析其稳定性。
解题思路：
首先，将分子和分母因式分解：
$$ H(z) = \frac{(z+1)(z+2)}{(z-1)^2} $$
由于极点位于 $ z = 1 $（重极点），且收敛域未明确给出，需结合系统性质判断。若系统是因果的，则收敛域应为 $ |z| > 1 $，此时极点位于单位圆上，系统不稳定。
因此，该系统不是因果系统，且存在不稳定因素。
四、滤波器设计与实现
题目示例：
设计一个一阶IIR低通滤波器，截止频率为 $ f_c = 1000 \, \text{Hz} $，采样频率为 $ f_s = 8000 \, \text{Hz} $，写出其系统函数并画出结构图。
解题思路：
采用双线性变换法设计模拟低通滤波器，然后映射到数字域。假设选择巴特沃斯型模拟滤波器，经过双线性变换后，可得数字滤波器的系统函数：
$$ H(z) = \frac{1}{1 + a_1z^{-1}} $$
其中系数 $ a_1 $ 可根据截止频率计算得出。最终得到的系统函数可用于构建直接型或级联型结构。
总结
第三章作为《数字信号处理》的重要章节，涉及系统分析、滤波器设计等多个方面。通过练习相关习题，不仅可以加深对系统函数、频率响应、稳定性等概念的理解，还能提升实际应用能力。建议学习者在做题过程中注重推导过程，理解每个步骤的物理意义，从而更好地掌握数字信号处理的核心思想。
