【多项式除以多项式法则】在代数运算中，多项式除以多项式是常见的一种运算形式。它与整数除法类似，但涉及的是多项式的各项。掌握多项式除以多项式的法则，有助于更高效地进行代数运算和解决实际问题。
一、多项式除以多项式的定义
多项式除以多项式是指将一个多项式（被除式）除以另一个非零多项式（除式），得到一个商式和一个余式。其基本形式为：
$$
\text{被除式} = \text{除式} \times \text{商式} + \text{余式}
$$
其中，余式的次数必须小于除式的次数。
二、多项式除以多项式的步骤
1. 按降幂排列：将被除式和除式都按照某个字母的降幂排列。
2. 确定首项：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 相乘减去：将得到的商项与除式相乘，然后从被除式中减去这个结果。
4. 重复步骤：将新的被除式继续重复上述过程，直到余式的次数低于除式的次数为止。
5. 得出结果：最后得到的商式和余式即为最终结果。
三、多项式除以多项式法则总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 将被除式和除式按同一字母的降幂排列 |
| 2 | 用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一个项 |
| 3 | 将该商项与除式相乘，再从被除式中减去 |
| 4 | 重复步骤2和3，直至余式的次数小于除式的次数 |
| 5 | 商式与余式共同构成最终结果 |
四、示例说明
例如，计算 $ (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) \div (x - 1) $
1. 按降幂排列：被除式为 $ x^3 + 2x^2 - 3x + 4 $，除式为 $ x - 1 $
2. 首项相除：$ x^3 ÷ x = x^2 $，商的第一项为 $ x^2 $
3. 相乘减去：$ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 $，从被除式中减去：
$$
(x^3 + 2x^2 - 3x + 4) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - 3x + 4
$$
4. 重复操作：下一步首项为 $ 3x^2 ÷ x = 3x $，继续相乘减去，最终得到商式 $ x^2 + 3x $，余式为 $ 7 $
因此，结果为：
$$
x^2 + 3x + \frac{7}{x - 1}
$$
五、注意事项
- 若余式为0，则说明除式能整除被除式。
- 多项式除法过程中，每一项都要注意符号的变化。
- 保持每一步的运算准确，避免因计算错误导致结果偏差。
通过以上步骤和法则，我们可以系统地完成多项式除以多项式的运算，提高运算效率和准确性。
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