【平面向量夹角公式cos】在解析几何和向量代数中，计算两个平面向量之间的夹角是一个常见且重要的问题。通过向量的点积（内积）可以求出两个向量之间的夹角余弦值，从而进一步求得夹角大小。以下是关于“平面向量夹角公式cos”的总结与表格展示。

一、公式原理

设平面向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，它们之间的夹角为 $\theta$，则根据向量点积的定义，有：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \cos\theta

$$

由此可得：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}

$$

其中：

- $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

- $\vec{a} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

- $\vec{b} = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$

二、计算步骤

1. 计算点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

2. 计算模长：

- $\vec{a} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

- $\vec{b} = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$

3. 代入公式求余弦值：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$

4. 求角度：$\theta = \arccos(\cos\theta)$

三、关键知识点总结

四、示例说明

假设 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$：

1. 点积：$3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11$

2. 模长：$\vec{a} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，$\vec{b} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

3. 余弦值：$\cos\theta = \dfrac{11}{5 \times \sqrt{5}} \approx 0.9839$

4. 夹角：$\theta = \arccos(0.9839) \approx 10^\circ$

五、注意事项

- 若两个向量方向相同，则夹角为 $0^\circ$，$\cos\theta = 1$

- 若两个向量方向相反，则夹角为 $180^\circ$，$\cos\theta = -1$

- 若两向量垂直，则夹角为 $90^\circ$，$\cos\theta = 0$

通过上述内容，我们可以清晰地理解并应用“平面向量夹角公式cos”，掌握其计算方法和实际应用场景。在学习和实践中，注意公式推导的逻辑性与数值计算的准确性，有助于提升对向量关系的理解能力。

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