高等数学是大学教育中一门重要的基础课程，它不仅是理工科学生的必修课，也是许多文科专业的重要选修课程。掌握好高等数学的基本概念和解题技巧，对于学生后续的学习和工作都有着至关重要的作用。本文将围绕一些高等数学的基础题目进行解析，并给出详细的解答过程。
题目一：极限计算
问题描述：
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 当 $x \to 2$ 时的极限值。
解答过程：
首先观察分子与分母的结构，发现当 $x \to 2$ 时，分母会趋于零，而分子也会趋于零。这种情况下，可以直接使用洛必达法则来简化计算。
对分子和分母分别求导：
- 分子的导数为 $2x$
- 分母的导数为 $1$
因此，原极限变为：
$$
\lim_{x \to 2} \frac{2x}{1} = 2 \cdot 2 = 4
$$
所以，$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$。
题目二：导数应用
问题描述：
已知函数 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求其在点 $x = 1$ 处的切线方程。
解答过程：
首先计算函数的导数 $g'(x)$：
$$
g'(x) = 3x^2 - 6x + 2
$$
然后代入 $x = 1$ 计算斜率：
$$
g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1
$$
接下来，计算函数在 $x = 1$ 处的函数值：
$$
g(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) = 1 - 3 + 2 = 0
$$
因此，切线方程为：
$$
y - g(1) = g'(1)(x - 1)
$$
即：
$$
y - 0 = -1(x - 1)
$$
化简后得到：
$$
y = -x + 1
$$
题目三：积分计算
问题描述：
计算定积分 $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx$。
解答过程：
先对被积函数进行不定积分：
$$
\int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C
$$
然后代入上下限计算：
$$
\left[\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0\right)
$$
$$
= \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}
$$
因此，$\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{7}{3}$。
通过以上三个基础题目的详细解析，我们可以看到高等数学的核心在于理解基本概念和灵活运用公式。希望这些题目及其解答能够帮助大家更好地掌握高等数学的基本技能。如果还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时提问！
