在高中数学的学习过程中，圆锥曲线是一个重要的章节，它不仅涉及到了几何图形的性质，还与代数方程有着密切的联系。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，下面提供了一些精选的练习题。

例题一

已知椭圆的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），其离心率为 \(e = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，且短轴长为 \(2\sqrt{3}\)。求该椭圆的长轴长度。

解析：根据题目条件，我们知道短轴长为 \(2\sqrt{3}\)，即 \(2b = 2\sqrt{3}\)，从而得出 \(b = \sqrt{3}\)。离心率公式为 \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\)，代入已知条件可得：

\[

\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{1 - \frac{3}{a^2}}

\]

两边平方后整理得到：

\[

\frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{a^2} \implies \frac{3}{a^2} = \frac{1}{4} \implies a^2 = 12

\]

因此，长轴长度为 \(2a = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}\)。

例题二

抛物线 \(y^2 = 4x\) 上有一点 \(P(1, 2)\)，求点 \(P\) 到焦点的距离。

解析：抛物线的标准形式为 \(y^2 = 4px\)，其中焦点坐标为 \((p, 0)\)。对于本题中的抛物线 \(y^2 = 4x\)，我们有 \(p = 1\)，因此焦点坐标为 \((1, 0)\)。点 \(P(1, 2)\) 到焦点的距离为：

\[

|PF| = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2

\]

通过以上两道例题，我们可以看到圆锥曲线问题的核心在于熟练运用相关公式和性质。希望大家能够通过这些练习题进一步巩固所学知识，并在考试中取得好成绩！

希望这篇文章能满足您的需求！如果有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。