在几何学中，三角形是研究的基本图形之一。它不仅具有丰富的几何性质，还与向量理论有着密切联系。本文将探讨三角形的四个重要点——重心、外心、垂心和内心，并通过向量形式表达它们的位置关系及特性。

首先，我们定义这些特殊点：

1. 重心：这是三角形三条中线交点。设三角形ABC的顶点分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则其重心G坐标为((x₁+x₂+x₃)/3,(y₁+y₂+y₃)/3)。从向量角度看，若以A为原点，则有OG = (OA + OB + OC)/3，其中O为坐标系原点。

2. 外心：即三角形外接圆的圆心。对于任意三角形来说，它的外心位于三条边垂直平分线的交点处。如果用向量表示的话，假设三角形ABC的边AB、BC、CA上的单位法向量分别为n₁、n₂、n₃，则外心O满足条件：|OA|=|OB|=|OC|。

3. 垂心：指三角形三条高的交点。当考虑向量时，可以利用正交投影来确定垂心H的位置。具体而言，若向量HA、HB、HC两两垂直，则H就是所求的垂心。

4. 内心：指的是内切圆圆心，也就是到三边距离相等的那个点。根据向量理论，内心I可以通过以下公式计算得出：I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是对应边长。

上述四种特殊点各自拥有独特的几何意义，并且它们之间存在着有趣的相互作用关系。例如，当一个三角形是等边三角形时，这四个点会重合；而在一般情况下，它们构成了所谓的欧拉线——一条贯穿了所有这些中心点的一维直线。

此外，深入研究这些点的向量表达式有助于解决实际问题中的复杂情况。比如，在建筑设计或机器人路径规划等领域内，精确地定位这些关键点能够帮助优化设计方案或者提高操作效率。

综上所述，《三角形重心、外心、垂心与内心之向量表示及其性质》一文旨在揭示这一经典数学主题背后的深层原理，并展示了如何运用现代数学工具来分析传统几何问题。希望读者朋友们能够在阅读之后获得启发，并进一步探索更多有关于三角形及其他多边形的研究方向！