在初中阶段的学习中，数学作为一门重要的基础学科，其难度随着年级的增长逐渐增加。尤其是到了初二，学生会接触到更多复杂的概念和解题技巧。为了帮助同学们更好地掌握这些知识点，今天我们将一起探讨几道具有代表性的初二数学难题，并提供详细的解答过程。

问题一：几何图形中的角度计算

已知△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，∠BAC = 40°。点D位于线段BC上，且AD平分了∠BAC。求∠ADB的度数。

解答：

首先，根据题目条件可知，由于△ABC是等腰三角形且AB=AC，则∠ABC = ∠ACB。又因为∠BAC = 40°，所以可以得出：

\[ \angle ABC + \angle ACB = 180° - 40° = 140° \]

因此，

\[ \angle ABC = \angle ACB = \frac{140°}{2} = 70° \]

接下来，考虑到AD平分了∠BAC，即∠BAD = ∠CAD = 20°（40°的一半）。现在我们来分析△ABD：

在△ABD中，已知∠BAD = 20°，而∠ABD = 70°（从上面得到），则：

\[ \angle ADB = 180° - (\angle BAD + \angle ABD) = 180° - (20° + 70°) = 90° \]

所以，∠ADB的度数为90°。

问题二：代数方程的应用

某工厂生产两种产品A和B。每生产一件A产品需要2小时，每生产一件B产品需要3小时。该厂每天最多可工作8小时，且至少要生产5件产品。如果生产一件A产品的利润是5元，生产一件B产品的利润是8元，请问如何安排生产计划才能使利润最大化？

解答：

设生产A产品x件，B产品y件。根据题意，我们可以列出以下约束条件：

1. 时间限制：\( 2x + 3y \leq 8 \)

2. 最少产量：\( x + y \geq 5 \)

3. 非负性：\( x \geq 0, y \geq 0 \)

目标函数为利润最大化，即 \( P = 5x + 8y \)。

通过尝试不同的整数值组合来满足上述条件，我们可以找到最优解。经过计算，当x=2, y=3时，满足所有条件并且利润达到最大值：

\[ P = 5(2) + 8(3) = 10 + 24 = 34 \]

因此，最佳生产方案是生产2件A产品和3件B产品，总利润为34元。

以上两道题目涵盖了初二数学中的几何与代数部分，希望通过对这些问题的解析能够帮助大家加深对相关知识的理解，并提高解决问题的能力。当然，在实际学习过程中，还需要不断练习，积累经验，才能更加熟练地应对各种挑战。