在高中阶段，数学作为一门基础学科，涵盖了代数、几何、三角函数、概率统计等多个重要领域。掌握这些数学公式的应用，是学好高中数学的关键。以下将系统地整理和归纳高中阶段常见的数学公式，帮助学生更好地理解和记忆。
一、代数公式
1. 平方差公式
$$
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
$$
2. 完全平方公式
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
3. 立方和与立方差公式
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
4. 因式分解常用公式
- 提取公因式
- 分组分解法
- 公式法（如平方差、完全平方等）
5. 二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
6. 判别式
判别式 $ D = b^2 - 4ac $，用于判断根的性质：
- 若 $ D > 0 $，有两个不相等实根；
- 若 $ D = 0 $，有一个实根（重根）；
- 若 $ D < 0 $，无实根。
二、指数与对数公式
1. 指数运算法则
$$
a^m \cdot a^n = a^{m+n} \\
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\
(a^m)^n = a^{mn} \\
a^0 = 1 \quad (a \neq 0)
$$
2. 对数基本性质
- $ \log_a 1 = 0 $
- $ \log_a a = 1 $
- $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $
- $ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y $
- $ \log_a x^n = n \log_a x $
3. 换底公式
$$
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
$$
三、三角函数公式
1. 基本定义
在直角三角形中，设角 $ \theta $ 的对边为 $ a $，邻边为 $ b $，斜边为 $ c $，则：
$$
\sin \theta = \frac{a}{c}, \quad \cos \theta = \frac{b}{c}, \quad \tan \theta = \frac{a}{b}
$$
2. 同角三角函数关系
$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
$$
3. 诱导公式（用于角度转换）
- $ \sin(-\theta) = -\sin \theta $
- $ \cos(-\theta) = \cos \theta $
- $ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta $
- $ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta $
4. 和差角公式
$$
\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\
\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \\
\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}
$$
5. 倍角公式
$$
\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta \\
\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
$$
四、立体几何公式
1. 长方体体积与表面积
- 体积：$ V = abc $
- 表面积：$ S = 2(ab + bc + ac) $
2. 圆柱体
- 体积：$ V = \pi r^2 h $
- 侧面积：$ S_{\text{侧}} = 2\pi r h $
- 表面积：$ S = 2\pi r(r + h) $
3. 圆锥体
- 体积：$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $
- 侧面积：$ S_{\text{侧}} = \pi r l $（其中 $ l $ 为母线长）
4. 球体
- 体积：$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $
- 表面积：$ S = 4\pi r^2 $
五、解析几何公式
1. 两点间距离公式
设点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，则：
$$
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
2. 中点坐标公式
中点 $ M $ 坐标为：
$$
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$
3. 直线斜率公式
直线过点 $ (x_1, y_1) $ 和 $ (x_2, y_2) $，则斜率为：
$$
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$
4. 直线方程形式
- 点斜式：$ y - y_1 = k(x - x_1) $
- 斜截式：$ y = kx + b $
- 一般式：$ Ax + By + C = 0 $
5. 圆的标准方程
圆心为 $ (h, k) $，半径为 $ r $，则：
$$
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
$$
六、概率与统计公式
1. 概率的基本性质
- $ 0 \leq P(A) \leq 1 $
- $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $
- 若事件互斥，则 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
2. 期望值公式
若随机变量 $ X $ 取值为 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应概率为 $ p_1, p_2, ..., p_n $，则：
$$
E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n
$$
3. 方差公式
$$
Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
4. 标准差
$$
\sigma = \sqrt{Var(X)}
$$
总结
高中数学涵盖的内容广泛，公式繁多，但只要理解其推导过程并加以练习，就能熟练掌握。建议同学们在学习过程中注重逻辑推理和实际应用，逐步建立起完整的知识体系。通过不断复习和巩固，数学成绩定能稳步提升。
