在学习高等数学的过程中，测试题和参考答案是检验学习成果、巩固知识体系的重要工具。为了帮助广大学生更好地掌握课程内容，本文整理了一份完整的高等数学测试题及详细解答，涵盖函数、极限、导数、积分、微分方程等核心知识点，适合用于课后练习、期末复习或考研备考。
一、测试题部分
第一部分：选择题（每题3分，共15分）
1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 的定义域为（ ）
A. $ (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $
B. $ (-2, 2) $
C. $ (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $
D. $ \mathbb{R} $
2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 不存在
D. ∞
3. 设 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(x) = $（ ）
A. $ 3x^2 - 3 $
B. $ 3x^2 + 3 $
C. $ 3x - 3 $
D. $ x^2 - 3 $
4. 不定积分 $ \int e^{2x} dx $ 等于（ ）
A. $ e^{2x} + C $
B. $ \frac{1}{2}e^{2x} + C $
C. $ 2e^{2x} + C $
D. $ \frac{1}{2}e^{x} + C $
5. 微分方程 $ y' = 2y $ 的通解为（ ）
A. $ y = Ce^{2x} $
B. $ y = Cx^2 $
C. $ y = Cx $
D. $ y = C\ln x $
第二部分：填空题（每空3分，共15分）
6. 函数 $ f(x) = \sqrt{x - 1} $ 的定义域是 __________。
7. 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = L $，且 $ \lim_{x \to a} g(x) = M $，则 $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = $ __________。
8. 曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线斜率为 __________。
9. 定积分 $ \int_0^1 x^2 dx = $ __________。
10. 微分方程 $ y'' + y = 0 $ 的通解为 __________。
第三部分：计算题（每题10分，共40分）
11. 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} $。
12. 求函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数。
13. 计算不定积分 $ \int x \cos x \, dx $。
14. 解微分方程 $ y' + 2y = 4 $。
二、参考答案与解析
选择题答案：
1. A
2. B
3. A
4. B
5. A
填空题答案：
6. $ [1, +\infty) $
7. $ L + M $
8. 2
9. $ \frac{1}{3} $
10. $ y = C_1 \cos x + C_2 \sin x $
计算题解析：
11. 解：
利用泰勒展开或洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots) - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
12. 解：
使用链式法则：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}
$$
13. 解：
分部积分法：
$$
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C
$$
14. 解：
一阶线性微分方程，使用积分因子法：
$$
y' + 2y = 4 \Rightarrow \mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}
$$
两边乘以 $ e^{2x} $：
$$
e^{2x} y' + 2e^{2x} y = 4e^{2x} \Rightarrow \frac{d}{dx}(e^{2x} y) = 4e^{2x}
$$
积分得：
$$
e^{2x} y = 2e^{2x} + C \Rightarrow y = 2 + Ce^{-2x}
$$
三、总结
本套测试题涵盖了高等数学的基本内容，既注重基础概念的理解，也强调实际运算能力的培养。通过反复练习和查漏补缺，有助于学生系统地掌握知识体系，提升数学思维和解题技巧。建议在考试前进行模拟测试，进一步提高应试能力和自信心。
如需更多题目或专项训练，请继续关注后续更新。
