在概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个非常重要的工具，它为随机变量偏离其期望值的概率提供了一个通用的上界。尽管它不像正态分布那样精确，但在缺乏具体分布信息的情况下，切比雪夫不等式能够提供一种保守但可靠的估计方法。
为了帮助大家更好地理解和掌握这一概念，下面提供一些相关的练习题，并附有详细的解题思路和分析过程，便于巩固所学知识。
一、基础题型
题目1：
设随机变量 $ X $ 的数学期望为 $ \mu = 5 $，方差为 $ \sigma^2 = 4 $。根据切比雪夫不等式，求 $ P(|X - 5| \geq 3) $ 的最大可能值。
解题思路：
根据切比雪夫不等式，对于任意 $ \varepsilon > 0 $，有：
$$
P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
$$
代入数据：$ \mu = 5 $，$ \sigma^2 = 4 $，$ \varepsilon = 3 $，得：
$$
P(|X - 5| \geq 3) \leq \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9} \approx 0.444
$$
因此，该事件发生的概率不超过 $ \frac{4}{9} $。
题目2：
已知某次考试的平均分为 70 分，标准差为 10 分。利用切比雪夫不等式，估计分数在 50 分到 90 分之间的学生比例至少是多少？
解题思路：
首先，计算区间距离均值的距离：
$$
|X - 70| < 20
$$
即 $ \varepsilon = 20 $，标准差 $ \sigma = 10 $，则：
$$
P(|X - 70| < 20) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} = 1 - \frac{100}{400} = 1 - 0.25 = 0.75
$$
所以，至少有 75% 的学生分数在 50 到 90 分之间。
二、进阶题型
题目3：
设随机变量 $ X $ 满足 $ E(X) = 0 $，且 $ Var(X) = 1 $。使用切比雪夫不等式证明：
$$
P(|X| \geq 2) \leq \frac{1}{4}
$$
解题思路：
直接应用切比雪夫不等式：
$$
P(|X - 0| \geq 2) \leq \frac{Var(X)}{2^2} = \frac{1}{4}
$$
得证。
题目4：
若某工厂生产的产品重量服从某种未知分布，但已知其均值为 100 克，方差为 9 克²。试用切比雪夫不等式估计产品重量在 91 克至 109 克之间的概率至少为多少？
解题思路：
区间长度为 18 克，即 $ |X - 100| \leq 9 $，所以 $ \varepsilon = 9 $。
代入公式：
$$
P(|X - 100| \geq 9) \leq \frac{9}{9^2} = \frac{1}{9}
$$
因此，
$$
P(|X - 100| < 9) \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.889
$$
即至少有 88.9% 的产品重量在 91 克至 109 克之间。
三、拓展思考题
题目5：
假设某次考试的平均分是 65 分，标准差为 15 分。试用切比雪夫不等式估计，至少有多少比例的学生得分在 35 分到 95 分之间？
提示：
区间为 $ [35, 95] $，即 $ |X - 65| \leq 30 $，$ \varepsilon = 30 $，$ \sigma = 15 $
答案：
$$
P(|X - 65| < 30) \geq 1 - \frac{15^2}{30^2} = 1 - \frac{225}{900} = 1 - 0.25 = 0.75
$$
即至少 75% 的学生分数落在 35 至 95 分之间。
总结
通过上述练习题可以看出，切比雪夫不等式虽然给出的是一个较为宽松的上界，但它适用于任何具有有限方差的随机变量，无需知道具体的分布形式。这种普适性使其在实际问题中具有广泛的应用价值。
建议同学们多做类似题目，理解其适用范围与局限性，从而更灵活地运用这一重要工具。
