【复数经典练习题】在数学的学习过程中，复数是一个重要的知识点，尤其在高中阶段和大学的初等数学中占据着不可忽视的地位。复数不仅丰富了数的范围，还为解决许多实际问题提供了有力的工具。本文将围绕“复数经典练习题”展开，通过一些典型的例题与解析，帮助大家更好地理解和掌握复数的相关知识。
一、复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为 $ z = a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。
- 实部：$ \text{Re}(z) = a $
- 虚部：$ \text{Im}(z) = b $
二、复数的运算
1. 加法与减法
若 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，则：
$$
z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \\
z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i
$$
例题1
计算 $ (3 + 4i) + (2 - 5i) $
解析
$$
(3 + 2) + (4 - 5)i = 5 - i
$$
2. 乘法
利用分配律进行计算：
$$
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
例题2
计算 $ (2 + 3i)(1 - i) $
解析
$$
2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 \\
= 2 + i + 3 = 5 + i
$$
3. 共轭复数与模长
- 共轭复数：$ \overline{z} = a - bi $
- 模长：$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $
例题3
已知 $ z = 1 + 2i $，求其共轭复数与模长。
解析
$$
\overline{z} = 1 - 2i \\
|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}
$$
三、复数的几何意义
复数可以在复平面上表示为点或向量。实轴表示实部，虚轴表示虚部。复数的加法可以看作向量的加法，而乘法则对应于旋转和缩放。
例题4
将复数 $ z = 1 + i $ 在复平面上表示出来，并求其旋转 $ 90^\circ $ 后的结果。
解析
复数 $ 1 + i $ 对应坐标点 $ (1, 1) $。
将其绕原点逆时针旋转 $ 90^\circ $，相当于乘以 $ i $：
$$
(1 + i) \cdot i = i + i^2 = i - 1 = -1 + i
$$
四、经典练习题精选
练习题1
设 $ z = 2 + 3i $，求 $ z^2 $ 的实部与虚部。
练习题2
已知 $ z = a + bi $，且 $ z + \overline{z} = 6 $，$ z \cdot \overline{z} = 13 $，求 $ a $ 和 $ b $。
练习题3
解方程 $ z^2 + 4z + 13 = 0 $。
五、总结
复数作为数学中的重要工具，不仅在代数中有广泛应用，还在物理、工程、信号处理等领域发挥着关键作用。通过大量的练习题训练，可以加深对复数的理解和应用能力。希望本文提供的经典练习题能够帮助你在学习复数的过程中更加得心应手。
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