【高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结】在高中数学的立体几何部分，二面角是一个重要的知识点，它不仅考查学生对空间几何体的理解能力，还涉及到平面与平面之间的夹角关系。掌握二面角的求解方法，有助于提升学生在立体几何中的综合分析与计算能力。
一、什么是二面角？
二面角是由两个平面相交所形成的图形，其两条边分别是这两个平面的交线，而两个平面则构成二面角的两个面。通常用符号“∠α-l-β”表示，其中l是两平面的交线，α和β是两个平面。
二面角的大小可以用一个角度来表示，这个角度是在两个平面内分别作一条垂直于交线的直线，这两条直线之间的夹角即为二面角的大小。
二、二面角的常见类型及解法
1. 定义法（直接法）
对于一些较为直观的几何体，如正方体、长方体、三棱锥等，可以通过构造两个平面内的垂线，直接求出二面角的大小。
例题：
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求平面ABB₁A₁与平面ABCD之间的二面角。
解析：
平面ABB₁A₁与平面ABCD的交线是AB。在平面ABB₁A₁中，作BE⊥AB；在平面ABCD中，作AF⊥AB。那么∠EAF就是二面角的大小。由于BE和AF都是垂直于AB的，且BE=AA₁，AF=AD，因此该二面角为直角，即90°。
2. 向量法（坐标法）
利用向量的方法可以更系统地求解二面角的大小，特别是在复杂几何体中更为实用。
步骤如下：
1. 找出两个平面的法向量；
2. 计算两个法向量之间的夹角；
3. 根据方向判断是否为锐角或钝角，最终确定二面角的大小。
例题：
已知平面α的法向量为n₁ = (1, 2, 3)，平面β的法向量为n₂ = (4, -1, 2)，求这两个平面的二面角。
解析：
根据向量夹角公式：
$$
\cos\theta = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1||n_2|}
$$
计算得：
$$
n_1 \cdot n_2 = 1×4 + 2×(-1) + 3×2 = 4 - 2 + 6 = 8 \\
|n_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \\
|n_2| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}
$$
所以，
$$
\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{14} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} \approx 0.472
$$
因此，θ ≈ 61.8°，即为二面角的大小。
3. 三垂线定理法
三垂线定理是解决二面角问题的一种经典方法，尤其适用于有垂直关系的几何体。
原理：
若在平面α内有一条直线l，且l垂直于交线m，那么这条直线l在另一平面β内的投影也垂直于m。
例题：
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，求平面PAB与平面PAD之间的二面角。
解析：
由于PA垂直于底面，故PA同时垂直于AB和AD。因此，平面PAB与平面PAD的交线是PA。在平面PAB中取PB，在平面PAD中取PD，那么PB和PD在平面内的投影均垂直于PA，从而说明该二面角为直角。
三、常见误区与注意事项
1. 注意二面角的方向性：二面角的大小可能是锐角也可能是钝角，需结合具体几何体判断。
2. 避免混淆二面角与线面角：线面角是直线与平面的夹角，而二面角是两个平面之间的夹角。
3. 合理选择方法：对于简单几何体可用定义法，复杂几何体建议使用向量法或三垂线定理。
四、总结
二面角作为立体几何中的一个重要概念，其解法多样，但核心在于理解平面之间的相对位置关系。通过定义法、向量法、三垂线定理等多种方法，可以灵活应对不同类型的题目。掌握这些方法不仅能提高解题效率，还能增强空间想象能力和逻辑思维能力。
建议： 多做相关练习题，结合图形进行分析，逐步培养对空间结构的敏感度。
