【sin2x的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个基础而重要的问题。对于三角函数如“sin2x”，其原函数可以通过基本积分公式和换元法来求得。本文将对“sin2x的原函数”进行总结，并通过表格形式展示相关结果。
一、什么是原函数？
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。换句话说，如果 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的原函数，则有：
$$
F'(x) = f(x)
$$
因此，求 $ \int f(x)\,dx $ 就是寻找 $ f(x) $ 的所有原函数。
二、sin2x 的原函数推导
我们要求的是：
$$
\int \sin(2x)\,dx
$$
这是一个标准的三角函数积分问题。我们可以使用换元法来求解。
设 $ u = 2x $，则 $ du = 2\,dx $，即 $ dx = \frac{1}{2}du $
代入原式：
$$
\int \sin(2x)\,dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u)\,du
$$
我们知道：
$$
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C
$$
因此：
$$
\int \sin(2x)\,dx = \frac{1}{2} (-\cos(2x)) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C
$$
三、总结与表格展示
| 函数表达式 | 原函数 | 说明 |
| $ \sin(2x) $ | $ -\frac{1}{2} \cos(2x) + C $ | 使用换元法求得，C为积分常数 |
四、注意事项
- 在实际应用中，积分常数 $ C $ 通常可以根据初始条件确定。
- 若题目要求的是定积分，需根据上下限计算具体数值。
- 对于更复杂的三角函数组合，可能需要使用积分技巧如分部积分或三角恒等变换。
通过以上分析可以看出，“sin2x”的原函数是 $ -\frac{1}{2} \cos(2x) + C $，这是微积分中一个常见且重要的结果。掌握这类基础积分有助于解决更复杂的问题。
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